Class 9 Maths All Formulas | कक्षा 9 गणित के सभी महत्वपूर्ण सूत्र

Class 9 Maths All Formulas: कक्षा 9 गणित की परीक्षा की तैयारी कर रहे विद्यार्थियों के लिए सभी महत्वपूर्ण गणितीय सूत्रों को एक ही जगह अध्यायवार उपलब्ध कराया गया है। इस Formula Sheet में संख्या पद्धति, बहुपद, निर्देशांक ज्यामिति, रेखाएँ और कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त, हीरोन का सूत्र, पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन, सांख्यिकी और प्रायिकता आदि के महत्वपूर्ण सूत्र शामिल हैं। विद्यार्थी इस पोस्ट को Bookmark करके परीक्षा से पहले Quick Revision के लिए उपयोग कर सकते हैं।

अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number System)

1. परिमेय संख्या

परिमेय संख्या का रूप:$$\frac{p}{q}$$

जहाँ $p,q$ पूर्णांक हैं तथा:$$q\neq0$$

2. अपरिमेय संख्या

जिस संख्या को $\frac pq$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता, वह अपरिमेय संख्या है।

उदाहरण:$$\sqrt2,\sqrt3,\sqrt5,\pi$$

3. वास्तविक संख्या

$$\text{वास्तविक संख्याएँ}= \text{परिमेय संख्याएँ}+\text{अपरिमेय संख्याएँ}$$

4. घातांक के नियम

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$$$(a^m)^n=a^{mn}$$$$a^m b^m=(ab)^m$$$$\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac ab\right)^m$$$$a^0=1\quad(a\neq0)$$$$a^{-m}=\frac1{a^m}$$

5. करणी के सूत्र

$$\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$$$$\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$$$$(\sqrt a)^2=a$$$$\sqrt{a^2}=|a|$$

अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)

1. बहुपद का सामान्य रूप

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$

जहाँ $a_n\neq0$।

2. रैखिक बहुपद

$$ax+b$$

इसकी घात = 1

3. द्विघात बहुपद

$$ax^2+bx+c$$

इसकी घात = 2

4. त्रिघात बहुपद

$$ax^3+bx^2+cx+d$$

इसकी घात = 3

5. शून्य बहुपद

शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती।

6. शेषफल प्रमेय

यदि $p(x)$ को $(x-a)$ से भाग दिया जाए, तो शेषफल:$$p(a)$$

होगा।

7. गुणनखंड प्रमेय

यदि:$$p(a)=0$$

तो:$$(x-a)$$

बहुपद $p(x)$ का गुणनखंड है।

महत्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ

सर्वसमिका 1

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

सर्वसमिका 2

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

सर्वसमिका 3

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

सर्वसमिका 4

$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$

सर्वसमिका 5

$$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$$

सर्वसमिका 6

$$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$$

सर्वसमिका 7

$$(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$

सर्वसमिका 8

$$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$

सर्वसमिका 9

$$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$$

सर्वसमिका 10

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

सर्वसमिका 11

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

सर्वसमिका 12

$$a^3+b^3+c^3-3abc$$$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$

यदि:$$a+b+c=0$$

तो:$$a^3+b^3+c^3=3abc$$

अध्याय 3: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

बिंदु का रूप

$$(x,y)$$

जहाँ:

• $x$ = भुज (Abscissa)
• $y$ = कोटि (Ordinate)

मूल बिंदु

$$O=(0,0)$$

x-अक्ष पर किसी बिंदु का रूप

$$(x,0)$$

y-अक्ष पर किसी बिंदु का रूप

$$(0,y)$$

चतुर्थांश

I चतुर्थांश:$$(+,+)$$

II चतुर्थांश:$$(-,+)$$

III चतुर्थांश:$$(-,-)$$

IV चतुर्थांश:$$(+,-)$$

अध्याय 4: दो चरों वाले रैखिक समीकरण

सामान्य रूप:$$ax+by+c=0$$

जहाँ $a,b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं होते।

यदि $y=0$

$$ax+c=0$$$$x=-\frac ca$$

यदि $x=0$

$$by+c=0$$$$y=-\frac cb$$

रेखा के समीकरण से कुछ उपयोगी रूप

$$y=mx+c$$

यहाँ $m$ ढाल तथा $c$, y-अवरोध है।

अध्याय 5: यूक्लिड की ज्यामिति

इस अध्याय में मुख्य रूप से परिभाषाएँ, स्वयंसिद्ध और अभिगृहीत हैं।

यूक्लिड का पाँचवाँ अभिगृहीत

यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि अंतः कोणों का योग $180^\circ$ से कम है, तो दोनों रेखाएँ उसी ओर बढ़ाने पर मिलेंगी।

महत्वपूर्ण तथ्य

एक बिंदु से दूसरी बिंदु तक:

केवल एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

अध्याय 6: रेखाएँ और कोण

1. पूरक कोण

दो कोणों का योग:$$90^\circ$$

2. संपूरक कोण

दो कोणों का योग:$$180^\circ$$

3. रैखिक युग्म

$$\angle1+\angle2=180^\circ$$

4. शीर्षाभिमुख कोण

शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।$$\angle1=\angle2$$

5. एक बिंदु के चारों ओर कोण

$$360^\circ$$

6. समानांतर रेखाओं में

यदि दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो:

संगत कोण बराबर:$$\angle1=\angle2$$

एकांतर अंतः कोण बराबर:$$\angle1=\angle2$$

सह-अंतः कोणों का योग:$$\angle1+\angle2=180^\circ$$

अध्याय 7: त्रिभुज

1. त्रिभुज के कोणों का योग

$$A+B+C=180^\circ$$

2. बाह्य कोण

बाह्य कोण = दो अंतः विपरीत कोणों का योग।$$\text{Exterior Angle}=A+B$$

3. समद्विबाहु त्रिभुज

यदि:$$AB=AC$$

तो:$$\angle B=\angle C$$

4. समबाहु त्रिभुज

यदि तीनों भुजाएँ बराबर हैं:$$AB=BC=CA$$

तो प्रत्येक कोण:$$60^\circ$$

5. त्रिभुज असमता

किसी त्रिभुज में:$$AB+BC>AC$$$$BC+CA>AB$$$$CA+AB>BC$$

अध्याय 8: चतुर्भुज

चतुर्भुज के कोणों का योग

$$360^\circ$$

समांतर चतुर्भुज

विपरीत भुजाएँ:$$AB=CD$$$$BC=AD$$

विपरीत कोण:$$\angle A=\angle C$$$$\angle B=\angle D$$

आसन्न कोण:$$\angle A+\angle B=180^\circ$$

विकर्ण

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।$$AO=OC$$$$BO=OD$$

आयत

सभी कोण:$$90^\circ$$

विकर्ण बराबर:$$AC=BD$$

वर्ग

$$AB=BC=CD=DA$$

और:$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$$

समचतुर्भुज

सभी भुजाएँ बराबर:$$AB=BC=CD=DA$$

विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

समलंब चतुर्भुज

एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

अध्याय 9: समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

आयत का क्षेत्रफल

$$A=l\times b$$

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

$$A=b\times h$$

त्रिभुज का क्षेत्रफल

$$A=\frac12\times b\times h$$

समान आधार और समान समानांतरों के बीच बने त्रिभुज

यदि दो त्रिभुजों का आधार और समानांतरों के बीच की ऊँचाई समान है, तो उनके क्षेत्रफल बराबर होते हैं।

अध्याय 10: वृत्त (Circle)

वृत्त की परिधि

$$C=2\pi r$$

वृत्त का क्षेत्रफल

$$A=\pi r^2$$

व्यास

$$d=2r$$

त्रिज्या

$$r=\frac d2$$

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल

$$A=\frac12\pi r^2$$

अर्धवृत्त की चाप की लंबाई

$$L=\pi r$$

चाप और कोण से संबंधित महत्वपूर्ण तथ्य

समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।

समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

अध्याय 11: रचनाएँ (Constructions)

इस अध्याय में मुख्य रूप से रचना की विधियाँ हैं, इसलिए सामान्य संख्यात्मक सूत्र बहुत कम हैं।

कोण का समद्विभाजन

यदि किसी कोण को दो बराबर भागों में बाँटा जाए:$$\angle AOB=\angle BOC$$

रेखाखंड का लंब समद्विभाजक

यदि $AB$ का मध्यबिंदु $M$ है:$$AM=MB$$

और:$$OM\perp AB$$

अध्याय 12: हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula)

यदि त्रिभुज की तीन भुजाएँ $a,b,c$ हैं, तो अर्धपरिमाप:$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

त्रिभुज का क्षेत्रफल

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

समबाहु त्रिभुज

यदि प्रत्येक भुजा $a$ है:$$A=\frac{\sqrt3}{4}a^2$$

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई

$$h=\frac{\sqrt3}{2}a$$

समबाहु त्रिभुज का परिमाप

$$P=3a$$

अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

घनाभ (Cuboid)

लंबाई = $l$

चौड़ाई = $b$

ऊँचाई = $h$

आयतन

$$V=lbh$$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$TSA=2(lb+bh+hl)$$

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$LSA=2h(l+b)$$

विकर्ण

$$d=\sqrt{l^2+b^2+h^2}$$

घन (Cube)

भुजा = $a$

आयतन

$$V=a^3$$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$TSA=6a^2$$

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$LSA=4a^2$$

विकर्ण

$$d=a\sqrt3$$

फलक का विकर्ण

$$d=a\sqrt2$$

बेलन (Cylinder)

त्रिज्या = $r$

ऊँचाई = $h$

आधार का क्षेत्रफल

$$A=\pi r^2$$

आयतन

$$V=\pi r^2h$$

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$CSA=2\pi rh$$

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

$$TSA=2\pi r(h+r)$$

अध्याय 14: सांख्यिकी (Statistics)

1. आँकड़ों का परास

$$Range=Maximum-Minimum$$

2. माध्य

$$\bar{x}=\frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}}$$

अर्थात:$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$

3. यदि बारंबारता दी गई हो

$$\bar{x}=\frac{\sum fx}{\sum f}$$

जहाँ:

• $f$ = बारंबारता
• $x$ = प्रेक्षण
• $\sum f$ = कुल बारंबारता

4. माध्यिका

आँकड़ों को आरोही या अवरोही क्रम में रखने के बाद:

यदि $n$ विषम है:$$Median=\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}\text{ observation}$$

यदि $n$ सम है:$$Median= \frac{ \left(\frac n2\right)^{th}\text{ observation} + \left(\frac n2+1\right)^{th}\text{ observation} }{2}$$

5. बहुलक

जो मान सबसे अधिक बार आता है, वह बहुलक (Mode) कहलाता है।

अध्याय 15: प्रायिकता (Probability)

यदि किसी घटना $E$ के होने के अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E)$ और कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S)$ है, तो:$$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$$

किसी घटना की प्रायिकता

$$0\leq P(E)\leq1$$

असंभव घटना

$$P(E)=0$$

निश्चित घटना

$$P(E)=1$$

घटना न होने की प्रायिकता

यदि $E’$, घटना $E$ की पूरक घटना है:$$P(E’)=1-P(E)$$

अर्थात:$$P(E)+P(E’)=1$$

Class 9 Maths Quick Formula Revision

FAQ के लिए SEO Questions

Class 9 Maths के सभी महत्वपूर्ण सूत्र कौन-कौन से हैं?

कक्षा 9 गणित में संख्या पद्धति, बहुपद, निर्देशांक ज्यामिति, रेखाएँ एवं कोण, त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त, क्षेत्रफल, हीरोन का सूत्र, पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन, सांख्यिकी और प्रायिकता आदि के महत्वपूर्ण सूत्र पढ़े जाते हैं।

Class 9 Maths Formula Sheet क्यों जरूरी है?

Formula Sheet से विद्यार्थी परीक्षा से पहले सभी महत्वपूर्ण सूत्रों का जल्दी Revision कर सकते हैं और प्रश्न हल करते समय आवश्यक सूत्र आसानी से याद कर सकते हैं।

Bihar Board Class 9 Maths के सूत्र कहाँ पढ़ें?

विद्यार्थी इस पोस्ट में Class 9 Maths के महत्वपूर्ण सूत्रों को अध्यायवार पढ़ सकते हैं और परीक्षा की तैयारी के लिए उनका Revision कर सकते हैं।

Conclusion

कक्षा 9 गणित के सभी महत्वपूर्ण सूत्र विद्यार्थियों के लिए Quick Revision में काफी उपयोगी हो सकते हैं। परीक्षा से पहले प्रत्येक अध्याय के Formula को दोहराने के साथ-साथ उनसे संबंधित प्रश्नों का अभ्यास भी करें। इससे गणित के प्रश्नों को हल करने की गति और सटीकता बेहतर करने में मदद मिलेगी।

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