Class 10 Kshetramiti Important Questions 2027 प्रश्न एवं हल

1. बेलन का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न:

एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आधार की त्रिज्या $7\text{ cm}$ और ऊँचाई $14\text{ cm}$ है। इसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल, कुल पृष्ठ क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।

दिया है:

• त्रिज्या $r=7$ cm
• ऊँचाई $h=14$ cm

(i) वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल

सूत्र:$$CSA=2\pi rh$$$$=2\times\frac{22}{7}\times7\times14$$$$=616\text{ cm}^2$$

उत्तर: वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल = $616 cm2616\text{ cm}^2$

(ii) कुल पृष्ठ क्षेत्रफल

$$TSA=2\pi r(r+h)$$$$=2\times\frac{22}{7}\times7(7+14)$$$$=44\times21$$$$=924\text{ cm}^2$$

उत्तर: कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = $924 cm2924\text{ cm}^2$

(iii) आयतन

$$V=\pi r^2h$$$$=\frac{22}{7}\times7^2\times14$$$$=2156\text{ cm}^3$$

अंतिम उत्तर:
CSA = 616 cm²
TSA = 924 cm²
आयतन = 2156 cm³

2. बेलन से तार बनाना

प्रश्न:

$66\text{ cm}^3$ ताँबे से $1\text{ mm}$ व्यास का एक लंबा तार खींचा जाता है। तार की लंबाई मीटर में ज्ञात कीजिए।

दिया है:

ताँबे का आयतन:$$V=66\text{ cm}^3$$

तार का व्यास:$$d=1\text{ mm}=0.1\text{ cm}$$

अतः त्रिज्या:$$r=\frac{0.1}{2}=0.05\text{ cm}$$

तार बेलनाकार है।

सूत्र:

$$V=\pi r^2L$$

अतः$$L=\frac{V}{\pi r^2}$$$$L=\frac{66}{\frac{22}{7}\times(0.05)^2}$$$$=\frac{66}{\frac{22}{7}\times0.0025}$$$$=8400\text{ cm}$$

मीटर में:$$8400\div100=84\text{ m}$$

उत्तर:

तार की लंबाई = 8484 मीटर

3. शंकु की तिर्यक ऊँचाई और क्षेत्रफल

प्रश्न:

एक शंकु के आधार की त्रिज्या $7\text{ cm}$ और ऊँचाई $24\text{ cm}$ है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई, वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल तथा कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया है:

$$r=7\text{ cm}$$$$h=24\text{ cm}$$

(i) तिर्यक ऊँचाई

सूत्र:$$l=\sqrt{r^2+h^2}$$$$=\sqrt{7^2+24^2}$$$$=\sqrt{49+576}$$$$=\sqrt{625}$$$$l=25\text{ cm}$$

(ii) वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल

$$CSA=\pi rl$$$$=\frac{22}{7}\times7\times25$$$$=550\text{ cm}^2$$

(iii) कुल पृष्ठ क्षेत्रफल

$$TSA=\pi r(l+r)$$$$=\frac{22}{7}\times7(25+7)$$$$=22\times32$$$$=704\text{ cm}^2$$

उत्तर:

• तिर्यक ऊँचाई = 25 cm
• वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल = 550 cm²
• कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 704 cm²

4. बड़े गोले से छोटी गोलियाँ बनाना

प्रश्न:

$8\text{ cm}$ त्रिज्या वाले धातु के एक बड़े ठोस गोले को पिघलाकर $1\text{ cm}$ त्रिज्या वाली कितनी छोटी ठोस गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?

दिया है:

बड़े गोले की त्रिज्या:$$R=8\text{ cm}$$

छोटी गोली की त्रिज्या:$$r=1\text{ cm}$$

पिघलाने पर कुल आयतन समान रहेगा।

सूत्र:

$$\text{गोलियों की संख्या} = \frac{\text{बड़े गोले का आयतन}} {\text{छोटे गोले का आयतन}}$$$$=\frac{\frac43\pi R^3}{\frac43\pi r^3}$$$$=\left(\frac{R}{r}\right)^3$$$$=\left(\frac81\right)^3$$$$=8^3$$$$=512$$

उत्तर:

512 छोटी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं।

5. खोखले गोले का द्रव्यमान

प्रश्न:

एक खोखले गोले का आंतरिक एवं बाह्य व्यास क्रमशः $6\text{ cm}$ और $10\text{ cm}$ है। यदि धातु का घनत्व $8\text{ g/cm}^3$ हो, तो गोले का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

दिया है:

बाहरी व्यास:$$10\text{ cm}$$

अतः बाहरी त्रिज्या:$$R=5\text{ cm}$$

आंतरिक व्यास:$$6\text{ cm}$$

अतः आंतरिक त्रिज्या:$$r=3\text{ cm}$$

घनत्व:$$8\text{ g/cm}^3$$

धातु का आयतन:

$$V=\frac43\pi(R^3-r^3)$$$$=\frac43\times\frac{22}{7}(5^3-3^3)$$$$=\frac43\times\frac{22}{7}(125-27)$$$$=\frac43\times\frac{22}{7}\times98$$$$=\frac{392}{3}\text{ cm}^3$$$$\approx130.67\text{ cm}^3$$

अब,$$\text{द्रव्यमान}=\text{आयतन}\times\text{घनत्व}$$$$=\frac{392}{3}\times8$$$$=\frac{3136}{3}$$$$\approx1045.33\text{ g}$$

उत्तर:

गोले का द्रव्यमान ≈$1045.33\approx1045.33$ ग्राम या 1.0451.045 kg है।

ध्यान दें: यहाँ सही उत्तर लगभग 1045.33 g है।

6. अर्धगोला और शंकु से बना खिलौना

प्रश्न:

एक खिलौना $3.5\text{ cm}$ त्रिज्या वाले अर्धगोले पर अध्यारोपित उसी त्रिज्या के एक शंकु के आकार का है। खिलौने की कुल ऊँचाई $15.5\text{ cm}$ है। खिलौने का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

दिया है:

$$r=3.5\text{ cm}$$

कुल ऊँचाई:$$15.5\text{ cm}$$

अर्धगोले की ऊँचाई = त्रिज्या:$$=3.5\text{ cm}$$

अतः शंकु की ऊँचाई:$$h=15.5-3.5$$$$h=12\text{ cm}$$

शंकु की तिर्यक ऊँचाई:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}$$$$=\sqrt{3.5^2+12^2}$$$$=\sqrt{12.25+144}$$$$=\sqrt{156.25}$$$$l=12.5\text{ cm}$$

संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल:

खिलौने में शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA लिया जाएगा।$$TSA=\pi rl+2\pi r^2$$$$=\frac{22}{7}\times3.5\times12.5 + 2\times\frac{22}{7}\times3.5^2$$$$=137.5+77$$$$=214.5\text{ cm}^2$$

उत्तर:

खिलौने का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल = $214.5 cm2214.5\text{ cm}^2$

7. नहर से खेत की सिंचाई

प्रश्न:

एक $6\text{ m}$ चौड़ी और $1.5\text{ m}$ गहरी नहर में पानी $10\text{ km/h}$ की चाल से बह रहा है। $30$ मिनट में यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, यदि सिंचाई के लिए $8\text{ cm}$ गहरे पानी की आवश्यकता होती है?

दिया है:

नहर की चौड़ाई:$$B=6\text{ m}$$

पानी की गहराई:$$H=1.5\text{ m}$$

पानी की चाल:$$10\text{ km/h}$$

समय:$$30\text{ मिनट}=\frac12\text{ घंटा}$$

30 मिनट में पानी द्वारा तय दूरी:

$$L=10\times\frac12$$$$=5\text{ km}$$$$=5000\text{ m}$$

बहने वाले पानी का आयतन:

$$V=L\times B\times H$$$$=5000\times6\times1.5$$$$=45000\text{ m}^3$$

खेत में आवश्यक पानी की गहराई:$$8\text{ cm}=0.08\text{ m}$$

अब,$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{आयतन}}{\text{गहराई}}$$$$=\frac{45000}{0.08}$$$$=562500\text{ m}^2$$

हेक्टेयर में:$$\frac{562500}{10000}=56.25$$

उत्तर:

नहर 30 मिनट में $562500 m2562500\text{ m}^2$, अर्थात $56.2556.25$ हेक्टेयर भूमि की सिंचाई कर सकती है।

8. शंकु का छिन्नक – बाल्टी

प्रश्न:

धातु की चादर से बनी एक बाल्टी शंकु के छिन्नक के आकार की है जिसकी ऊँचाई $16\text{ cm}$ है तथा दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ $20\text{ cm}$ और $8\text{ cm}$ हैं। बाल्टी की धारिता लीटर में ज्ञात कीजिए।

दिया है:

$$R=20\text{ cm}$$$$r=8\text{ cm}$$$$h=16\text{ cm}$$

सूत्र:

$$V=\frac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$$

मान रखने पर:$$V=\frac13\times\frac{22}{7}\times16 (20^2+8^2+20\times8)$$$$=\frac13\times\frac{22}{7}\times16 (400+64+160)$$$$=\frac13\times\frac{22}{7}\times16\times624$$$$\approx10459.43\text{ cm}^3$$

क्योंकि:$$1000\text{ cm}^3=1\text{ L}$$

अतः:$$V\approx10.46\text{ L}$$

उत्तर:

बाल्टी की धारिता ≈$10.46\approx10.46$ लीटर है।

9. कुआँ खोदकर चबूतरा बनाना

प्रश्न:

$7\text{ m}$ व्यास और $20\text{ m}$ गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और निकली मिट्टी को समान रूप से फैलाकर $22\text{ m}\times14\text{ m}$ वाला चबूतरा बनाया गया है। चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

दिया है:

कुएँ का व्यास:$$7\text{ m}$$

अतः त्रिज्या:$$r=3.5\text{ m}$$

कुएँ की गहराई:$$20\text{ m}$$

चबूतरे की लंबाई:$$22\text{ m}$$

चौड़ाई:$$14\text{ m}$$

चबूतरे की ऊँचाई $h$ मान लेते हैं।

कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन:

$$V=\pi r^2h$$$$=\frac{22}{7}\times3.5^2\times20$$$$=770\text{ m}^3$$

चबूतरे का आयतन:$$V=22\times14\times h$$$$=308h$$

दोनों आयतन बराबर होंगे:$$308h=770$$$$h=\frac{770}{308}$$$$h=2.5\text{ m}$$

उत्तर:

चबूतरे की ऊँचाई = 2.52.5 मीटर

10. त्रिज्यखंड एवं वृत्तखंड

प्रश्न:

$14\text{ cm}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का एक चाप केंद्र पर $60^\circ$ का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए:

1. चाप की लंबाई
2. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
3. संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल

दिया है:

$$r=14\text{ cm}$$$$\theta=60^\circ$$

(i) चाप की लंबाई

सूत्र:$$L=\frac{\theta}{360^\circ}\times2\pi r$$$$=\frac{60}{360}\times2\times\frac{22}{7}\times14$$$$=\frac16\times88$$$$=\frac{44}{3}$$$$\approx14.67\text{ cm}$$

उत्तर:

चाप की लंबाई = $443\frac{44}{3} cm ≈ 14.67 cm$

(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

सूत्र:$$A=\frac{\theta}{360^\circ}\times\pi r^2$$$$=\frac{60}{360}\times\frac{22}{7}\times14^2$$$$=\frac16\times616$$$$=\frac{308}{3}$$$$\approx102.67\text{ cm}^2$$

उत्तर:

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ≈ $102.67 cm2102.67\text{ cm}^2$

(iii) वृत्तखंड का क्षेत्रफल

वृत्तखंड का क्षेत्रफल:$$=\text{त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}-\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल}$$

यहाँ केंद्र पर कोण $60^\circ$ है और दोनों त्रिज्याएँ $14$ cm हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल:$$=\frac12r^2\sin60^\circ$$$$=\frac12\times14^2\times\frac{\sqrt3}{2}$$$$=49\sqrt3$$

अतः वृत्तखंड का क्षेत्रफल:$$=\frac{308}{3}-49\sqrt3$$

लगभग:$$=102.67-84.87$$$$\approx17.80\text{ cm}^2$$

उत्तर:

वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ $17.80 cm217.80\text{ cm}^2$

सभी उत्तर एक नजर में