Bihar Board Class 10 Math Notes Real Numbers | वास्तविक संख्याएँ Chapter 1
Bihar Board Class 10 Math Notes Real Numbers गणित की पूरी दुनिया संख्याओं पर आधारित है। हम अपने दैनिक जीवन में गिनती, माप, दूरी, समय, धन आदि के लिए संख्याओं का प्रयोग करते हैं। इन्हीं संख्याओं का विस्तृत अध्ययन वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) कहलाता है।
Bihar Board Class 10 Math Notes Real Numbers इस अध्याय में हम परिमेय संख्या, अपरिमेय संख्या, वास्तविक संख्या, यूक्लिड भाग एल्गोरिथ्म, महत्तम समापवर्तक (HCF), लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) तथा दशमलव प्रसार के बारे में विस्तार से जानेंगे।
Bihar Board Class 10 Math Notes Real Numbers विषय सूची
- परिमेय संख्या
- अपरिमेय संख्या
- वास्तविक संख्या
- यूक्लिड भाग एल्गोरिथ्म
- महत्तम समापवर्तक (HCF)
- महत्वपूर्ण सूत्र
- याद रखने योग्य बातें
- प्रश्नावली 1A हल
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1. परिमेय संख्या (Rational Numbers)
जिस संख्या को p/qके रूप में लिखा जा सके, उसे परिमेय संख्या कहते हैं। जहाँ
- p तथा q पूर्णांक हों
- q ≠ 0
उदाहरण
1/2, -3/4, 5, 0, 7
परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार समाप्त (Terminating) असमाप्त आवर्ती (Recurring) होता है।
उदाहरण
1/8 = 0.125, 11/3 = 3.66666…., 123/125 = 0.984
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2. अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers)
जिस संख्या को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके, उसे अपरिमेय संख्या कहते हैं।
इनका दशमलव प्रसार असमाप्त अथवा अनावर्ती होता है।
उदाहरण
√2, √3, √5, π
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3. वास्तविक संख्या (Real Numbers)
परिमेय एवं अपरिमेय दोनों संख्याओं के समूह को वास्तविक संख्या कहते हैं। अर्थात
वास्तविक संख्या = परिमेय + अपरिमेय
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4. यूक्लिड भाग एल्गोरिथ्म (Euclid Division Algorithm)
यदि a=bq+r जहाँ 0≤r<b तब
- a = भाज्य
- b = भाजक
- q = भागफल
- r = शेषफल
सूत्र
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
उदाहरण
72 = 9×8 +0
यहाँ
भाज्य =72
भाजक =9
भागफल =8
शेष =0
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5. महत्तम समापवर्तक (HCF)
दो संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या को महत्तम समापवर्तक (HCF) कहते हैं।
महत्वपूर्ण गुण
HCF(a,b)=HCF(b,r)
जहाँ
a=bq+r
यदि शेषफल 0 हो जाए तो अंतिम भाजक ही HCF होता है।
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याद रखने योग्य बातें
✅ HCF(a,1)=1
✅ HCF(a,a)=a
✅ HCF(a,0)=a
✅ HCF(a,b)=HCF(b,a)
घन पूर्णांक
प्रत्येक धन पूर्णांक को bq+r के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रतियोगी परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण तथ्य
✔ प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो परिमेय होगी या अपरिमेय।
✔ कोई भी संख्या एक साथ परिमेय तथा अपरिमेय नहीं हो सकती।
✔ π सदैव अपरिमेय है।
✔ √2, √3, √5 सदैव अपरिमेय हैं।
परीक्षा में पूछे जाने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न
- परिमेय संख्या किसे कहते हैं?
- अपरिमेय संख्या किसे कहते हैं?
- वास्तविक संख्या क्या है?
- यूक्लिड भाग एल्गोरिथ्म लिखिए।
- HCF निकालने का नियम लिखिए।
Bihar Board Class 10 Math Notes Real Numbers प्रश्नावली 1A
प्रश्न 1. रिक्त स्थान भरें
(i) यदि b = ac तो b, a का …. है
उत्तर: गुणज
(ii) यदि भाग एल्गोरिदम a=bq+r में a=72, b=9, तो r = ….
उत्तर: 72=9×8+0 अतः r=0
(iii) यदि भाग एल्गोरिदम a=bq+r में b=4, q=5, r=1 तो a=…
उत्तर = a=4×5+1 =20+1 अतः a=21
(iv) यदि भाग एल्गोरिदम a=bq+r में a=37, b=4, r=1 तो q=…
उत्तर = 37=4q+1
36=4q अतः q=9
(v) 92=12×7+8 तो म० स० (92,12) = म० स० (18, …) = …
उत्तर: म० स०(12,8) अब 12=8×1+4 8=4×2+0 अतः म० स०=4
8 तथा 4
(vi) यदि 42=35×1+7, 35=7×5+0 तो म० स० (42, 35) = …
उत्तर: म० स०=7
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प्रश्न 2 भाग एल्गोरिथ्म a=bq+r का q और r बताएँ, यदि
(i) a = 10, b = 3 (ii) a = 4, b = 19 (iii) a = 81, b = 3 (iv) a = 27, b = 2
(i) a=10, b=3
उत्तर: 10=3×3+1
q=3, r=1
(ii) a=4, b=19
उत्तर: 4=19×0+4
q=0, r=4
(iii) a=81, b=3
उत्तर: 81=3×27+0
q=27, r=0
(iv) a=27, b=2
उत्तर: 27=2×13+1
q=13, r=1
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प्रश्न 3 यूक्लिड एल्गोरिथ्म के प्रयोग से निम्नलिखित के म० स० ज्ञात करें
(i) 252 तथा 1540
1540=252×6+28
252=28×9+0
अतः
HCF =28
(ii) 196 तथा 38220
38220=196×195+0
अतः
HCF=196
(iii) 365 तथा 12450
12450=365×34+40
365=40×9+5
40=5×8+0
अतः
HCF=5
(iv) 135 तथा 225
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2+0
अतः
HCF=45
(v) 12576 तथा 4052
12576=4052×3+420
4052=420×9+272
420=272×1+148
272=148×1+124
148=124×1+24
124=24×5+4
24=4×6+0
अतः
HCF=4
(vi) 455 तथा 42
455=42×10+35
42=35×1+7
35=7×5+0
अतः
HCF=7
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प्रश्न 4. (i) दिखाएँ कि एक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q + 1 या 4q + 3 के रूप का होता है, जहाँ q एक पूर्णांक है। फिर दिखाएँ कि धनात्मक विषम पूर्णांक का वर्ग 8m + 1 के रूप का होता है, जहाँ m एक पूर्णांक है।
हल
माना a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार,
a = 4q + r, जहाँ 0 ≤ r < 4
अतः r = 0, 1, 2, 3 होगा।
स्थिति 1 : r = 0
a = 4q
यह सम संख्या है, इसलिए यह विषम नहीं हो सकती।
स्थिति 2 : r = 1
a = 4q + 1
यह एक विषम संख्या है।
स्थिति 3 : r = 2
a = 4q + 2
यह सम संख्या है, इसलिए यह विषम नहीं हो सकती।
स्थिति 4 : r = 3
a = 4q + 3
यह एक विषम संख्या है।
अतः प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 4q + 1 अथवा 4q + 3 के रूप का होता है।
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अब सिद्ध करें कि उसका वर्ग 8m + 1 के रूप का होता है।
प्रथम स्थिति
यदि
a = 4q + 1
तो,
a² = (4q + 1)²
= 16q² + 8q + 1
= 8(2q² + q) + 1
माना,
m = 2q² + q
जहाँ m एक पूर्णांक है।
अतः,
a² = 8m + 1
द्वितीय स्थिति
यदि
a = 4q + 3
तो,
a² = (4q + 3)²
= 16q² + 24q + 9
= 16q² + 24q + 8 + 1
= 8(2q² + 3q + 1) + 1
माना,
m = 2q² + 3q + 1
जहाँ m एक पूर्णांक है।
अतः,
a² = 8m + 1
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प्रश्न 4 (ii) दिखाएँ कि किसी धन पूर्णांक का वर्ग 4m + 2 या 4m + 3 के रूप का नहीं होगा। अथवा, दिखाएँ कि किसी धन पूर्णांक का वर्ग 4m या 4m + 1 के रूप का होता है।
हल
माना a कोई धन पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार,
a = 2q + r, जहाँ 0 ≤ r < 2
अतः r = 0 या r = 1 होगा।
स्थिति 1 : जब r = 0
तब,
a = 2q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
a² = (2q)²
a² = 4q²
माना,
m = q²
अतः,
a² = 4m
स्थिति 2 : जब r = 1
तब,
a = 2q + 1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
a² = (2q + 1)²
a² = 4q² + 4q + 1
a² = 4(q² + q) + 1
माना,
m = q² + q
अतः,
a² = 4m + 1
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प्रश्न 4 (iii) दिखाएँ कि एक पूर्णांक के वर्ग में यदि 4 से भाग दिया जाए, तो शेष 0 अथवा 1 बचेगा।
हल
माना a कोई पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार, किसी भी पूर्णांक को 2 से भाग देने पर
a = 2q + r, जहाँ 0 ≤ r < 2
अतः r = 0 या r = 1 होगा।
स्थिति 1 : जब r = 0
तब,
a = 2q
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
a² = (2q)²
a² = 4q²
अर्थात, a² = 4m, जहाँ m = q² एक पूर्णांक है।
इस स्थिति में a² को 4 से भाग देने पर शेष 0 प्राप्त होता है।
स्थिति 2 : जब r = 1
तब,
a = 2q + 1
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
a² = (2q + 1)²
a² = 4q² + 4q + 1
a² = 4(q² + q) + 1
अर्थात, a² = 4m + 1, जहाँ m = q² + q एक पूर्णांक है।
इस स्थिति में a² को 4 से भाग देने पर शेष 1 प्राप्त होता है।
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प्रश्न 4 (iv) सिद्ध करें कि कोई धन पूर्णांक 6k या 6k + 1 या 6k + 2 या 6k + 3 या 6k + 4 या 6k + 5 के रूप में लिखा जा सकता है।
हल
माना a कोई धन पूर्णांक है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार, किसी भी धन पूर्णांक a को 6 से भाग देने पर,
a = 6k + r, जहाँ 0 ≤ r < 6
अतः r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 होगा।
अब प्रत्येक स्थिति पर विचार करते हैं।
स्थिति 1 : जब r = 0
a = 6k
स्थिति 2 : जब r = 1
a = 6k + 1
स्थिति 3 : जब r = 2
a = 6k + 2
स्थिति 4 : जब r = 3
a = 6k + 3
स्थिति 5 : जब r = 4
a = 6k + 4
स्थिति 6 : जब r = 5
a = 6k + 5
उपरोक्त सभी स्थितियाँ संभव हैं, क्योंकि 6 से भाग देने पर शेषफल केवल 0, 1, 2, 3, 4 या 5 ही हो सकता है।
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प्रश्न 4 (v) सिद्ध करें कि 4q + 1 रूप के दो पूर्णांकों का गुणनफल भी 4q + 1 के रूप का होगा।
हल
माना दो पूर्णांक क्रमशः 4a + 1 तथा 4b + 1 के रूप के हैं, जहाँ a तथा b पूर्णांक हैं।
अब इन दोनों का गुणनफल लेते हैं।
(4a + 1) × (4b + 1)
= 16ab + 4a + 4b + 1
= 4(4ab + a + b) + 1
माना,
q = 4ab + a + b
चूँकि a और b पूर्णांक हैं, इसलिए q भी एक पूर्णांक होगा।
अतः,
(4a + 1)(4b + 1) = 4q + 1